Вище ми розглянули
деякі системи координат і їх зв’язок між собою, припускаюся, що простір
являється евклідовим. Наскільки евклідова геометрія може бути справедлива для
фізичних явищ, можна судити тільки з експериментальних даних. На сьогодні по
крайній мірі для класичної механіки в області простору з характерними розмірами
L з інтервалу
10-13см<<L<<1028см ми можемо на основі
експериментальних даних говорити, що евклідова геометрія може бути застосована
до фізичних явищ. Внаслідок цього ми можемо сформулювати
деякі висновки:
а) Інваріантність
по відношенню до паралельного переносу. Під цим розуміється, що простір
однорідний і не змінюється від точки до точки при такому русі. Іншими
словами. якщо тіла переміщуються без повороту, то їхні властивості не змінюються.
б) Інваріантність
по відношенню до повороту. Із
досліду відомо з великою точністю, що простір являється ізотропним, так що всі
напрямки еквівалентні і фізичні тіла не змінюються при повороті. На малюнку
1.5 проілюстровані зазначені інваріантності і приведено приклади
неінваріантності в гіпотетичному світі, в якому при цих рухах можуть зокрема,
змінюватись форма і розміри тіл.
Нижче інваріантності
зумовлюють фундаментальні закони збереження.
Залишаючись в такому
інваріантному по відношенню до паралельного переносу і повороту світі
розглянемо в якому інерціальні системи, які рухаються одна відносно іншої
без прискорення (в тому числі і без нормального; тобто ). Заради простоти допустимо, що система В рухається з постійною швидкістю відносно системи А так, що осі х і х’ лежать на одній
прямій і напрямлені однаково, і крім того в момент часу початки координат
обидвох систем співпадають (мал. 1.6).
Тоді, якщо в момент
часу t якась точка М має координати х’, у’, t’ в системі
В, то її координати в системі А будуть:
|
(1.25)
|
Перше рівняння
(1.25) не містить t’, бо в
класичній механіці вважаються, що час абсолютний, тобто t=t’.
Формули
(1.25) носять назву перетворення Галілея для координат. Із перетворення
Галілея слідує закон додавання швидкостей і правило перетворень для прискорень:
(1.26) (1.27)
Ми
бачимо, що при перетворенні координат завжди можна вказати таки фізичні
величини, які залишаються незмінними (інваріантними) при такому перетворенні. Такі
величини називаються інваріантами. Наприклад, при перетвореннях Галілея,
координати, швидкість (а значить імпульс і кінетична енергія і т.п.) – є
варінтні, а прискорення, і час – інваріантні. В цьому контексті розглянемо, що
буде творитися із законами збереження імпульсу і енергії як кінетичної так і
повної.
Якщо
рух деякої системи тіл (частинок) розглядаємо відносно інерціальної системи
відліку А, то при переході до іншої
інерціальної системи В зміниться
кількість руху і кінетична енергія (бо вони є варіантні): якщо через - позначити швидкість
в системі А1, а через - в системі В однієї частинки, то
(1.28)
Із
співвідношень (1.25) – (1.26) чітко також слідує, що прискорення – інваріант, а
також і сили – інваріантні. ???? також слідує з того, що всі механічні сили
залежать від відносного розташування тіл або їх відносних швидкостей. І те і
інше – інваріанти. Таким чином, всі три закони ньоютонівської динаміки
справедливі у всіх інерціальних системах відліку.
§ 4. Чотирьохвектор і
інтервал. Простір Міньковського.
Нагадаємо
із курсу загальної фізики, що в релятивістській ( не Ньютонівській) механіці,
коли швидкістю руху тіл не можна не можна знехтувати порівняно з швидкістю
світла, яка згідно ІІ постулату Ейнштейна одинакова у всіх інерціальних
системах відліку, справедливі перетворення не Галілея, а Лоренцо (мал. 1.6)
(1.29) (1.30)
Ми
бачимо, що при перетвореннях Лоренцо змінюються і координати і час. Причому
останні характеристики невіддільні одна
від одної є відносними. Але і в
релятивістській механіці можна знайти такі величини, співвідношення, які є
інваріантними в довільній інерціальній системі відліку.
Першим
таким інваріантом є швидкість світла. Нетрудно переконатися із співвідношень
(1.29), що другим важливим інваріантом є інтервал події. Його квадрат
визначається як:
Отже: (1.31)
Інваріантами,
як ми уже також знаємо, з курсу загальної фізики є маса спокою і енергія
спокою.
Із останнього співвідношення випливає, що коли кількість руху К в одній інерціальній системі не
залежить від часу то вона залишається постійною і в іншій системі відліку К’, поскільки m і константи. Тобто,
закон інерції справедливий в усіх інерціальних системах відліку.
Кінетична
енергія системи частинок в системі xOy буде:
Остання
рівність показує зміну кінетичної енергії при переході від однієї інерціальної
системи до іншої. Очевидно також, що якщо кінетична енергія системи в одній
інерціальній системі відліку постоянна в часі, то вона буде постійною в часі і
в іншій інерціальній системі відліку, якщо система частинок замкнута і між
частинками діють тільки пружні сили. Таким чином, закон збереження кінетичної
енергії справедливий у всіх інерціальних системах, якщо він справедливий в
одній з них. При цьому слід відмітити, що кількість руху ізольованої
системи частинок залишається постійною завжди і при недружніх взаємодіях, а
кінетична енергія зменшується в цьому випадку на одну і ту ж саму величину в
системах xOy і x’O’y’. Це зменшення –
інваріант.
Між
частинками системи можуть діяти сили, що залежать тільки від віддалі між ними і
напрямлені по лінії що їх з’єднують. Тоді кожна конфігурація володіє певною
потенціальною енергією U.
Якщо між
частинками ізольованої системи відбувається така взаємодія, то закон збереження
енергії (механічної) справедливий у всіх інерціальних системах.
Отже ми бачимо, що хоч самі фізичні величини можуть бути варіантними,
але співвідношення в які вони входять (або між ними) в довільній інерціальній
системі є однаковими (напр. або ). Тобто співвідношення є інваріантними.
|